sexta-feira, 12 de junho de 2009

"No conjunto das matrizes Mn(R), desenvolva ao máximo as expressões [...] justificando [...] através das propriedades..." - item "e" (TA)

(I + A + A2 + ... + An-1)(I – A)
por Carlos Alberto Soares Leite [ANcgr] - sexta, 12 junho 2009, 21:20

Boa noite a todos!

e) (I + A + A2 + ... + An-1)(I – A) = (tente chegar até a expressão I – An)

Sejam A e I matrizes de Mn(R)

Por definição,

podemos representar a expressão (I + A + A2 + ... + An-1) como

http://www.somatematica.com.br/cgi-bin/mimetex.cgi?\sum_%7bn\geq%201%20%7d%5e%20%7bn%7d\quad%20A%5e%7bn-1%7d

Assim, temos:

An-1 (I - A) =

"i" An-1 . I - An-1. A =

An-1 - A = (*) ver retificação abaixo

Pela associatividade da multiplicação de matrízes, temos:

An (A-1 - A0) =

"j" An. A-1 + (-A0) An =

Pelo produto de uma matriz inversa, temos:

In - A0 . An =

Pela propriedade exponencial de uma matriz quadrada nula, temos:

In - I . An =

Então, pela proporiedade "i" In - An ou I - An

Sds,

Carlos.

(*) retificação

Re: (I + A + A2 + ... + An-1)(I – A)

por Carlos Alberto Soares Leite [ANcgr] - sexta, 12 junho 2009, 22:11

Retificação:

Depois de "i" An-1 . I - An-1. A =

Vem, An-1 - An =

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