sábado, 31 de outubro de 2009

Conto Biblioteca de Babel - Parte 2 (TAAGEM)

Re: Fórum unidade 9- A BIBLIOTECA DE BABEL
por Carlos Alberto Soares Leite [ANcgr208] - sábado, 31 outubro 2009, 11:57

Bom dia, tutora Alessandra e demais colegas!!!

Para concluir as respostas dos questionamentos deste Fórum, evitarei identificar e fazer comentários, novamente, sobre "os elementos matemáticos presentes no conto Biblioteca de Babel", pois o tema foi brilhantemente discutido e, portanto, não convem repetir o assunto.
Quanto ao uso fundamental da Matemática e a idéia principal da narrativa de J. L. Borges, também, ficou evidente que existe uma forte relação de componentes matemáticos no texto, por consequência, a grande maioria concorda que o autor destaca e prioriza a infinitude do Universo ao fazer analogias com a sua Biblioteca imaginária.
Faço restrições apenas a questão de "Como você usaria esse conto com os alunos do Ensino Médio?". Penso, que este conto é mais adequado para estudantes a nível universitário, devido a sua linguagem e a grande complexidade de interpretação, haja visto que tivemos que recorrer às pesquisas em busca de alguns esclarecimentos para tentarmos compreendê-lo.
Assim, no Ensino Médio, é mais conviniente trabalhar com leituras do tipo "O Homem que Calculava", do autor Júlio César de Melo e Sousa (Malba Taham), que consegue unir a ciência com o lúdico e proporciona uma leitura de fácil compreensão e agradável.

Até a próxima...

Carlos Leite.

sexta-feira, 30 de outubro de 2009

Atividade Eletrônica 3 (TAAGEM)







Curso Novas Tecnologias no Ensino da Matemática


Disciplina: Tópicos em Aritmética, Álgebra e Geometria para o Ensino Médio


Tutora: Alessandra Jaccoud Pinto.


Aluno: Carlos Alberto Soares Leite.


Pólo: Campo Grande - Grupo 1


Tarefa: Atividade Eletrônica 3





Tema: Funções Quadráticas.


Série: Primeiro Ano do Ensino Médio.


Descrição: Análise gráfica de Funções Quadráticas.


Recurso: Software GRAPHMATICA.




ATIVIDADE




1 ª. Parte




1) Desenhe o gráfico da função y = x2.


2) Imagine como seria o gráfico da função y = x2 + 1. Agora, Através do Graphmatica, desenhe o gráfico e veja se o seu pensamento estava correto. Qual foi a modificação que ocorreu? Tente explicar o motivo desta alteração.


3) Faça o mesmo para as seguintes funções:


a) y = x2 + 2


b) y = x2 - 2


c) y = x2 -1


4) Compare-as com y = x2.


5) E o gráfico da função y = x2 + K, como seria? Sendo k um número inteiro qualquer.



Os gráficos das funções dessa 1 ª. parte da atividade são mostrados na figura abaixo:



Resposta: _ Os alunos devem perceber que os gráficos se deslocam verticalmente e que k é o parâmetro dessa ocorrência, ou seja, k é o "motivo" do deslocamento.



2 ª. Parte




1) O que acontece quando a função y = x2 é multiplicada por uma constante?


Para obter a resposta, compare os gráficos das funções abaixo com o gráfico da função y = x2 e observe as modificações.


a) y =- x2


b) y = 2x2


c) y =- 2x2


d) y = 1/3x2


e) y = -1/3x2


f) y = 1/6x2


g) y = 5x2


h) y = 10x2


i) y = kx2




A figura abaixo mostra os gráficos das funções dessa 2 ª. parte da atividade:



Resposta: _ Os alunos devem verificar que para k <0, ocorre reflexão em torno do eixo x; quando módulo de k> 1 há um alongamento do gráfico y = x2 ; e quando o Módulo de k está entre 0 e 1, acontece uma compressão.



3 ª. Parte


1) Reescreva as funções abaixo, completando quadrados.


a) y = x2 + 4x + 4


b) y = x2 - 2x + 1


c) y = x2 + 6x + 9


d) y = x2 - 8x + 16


2) A partir das respostas do item anterior, imagine como serão os gráficos daquelas funções. Então, construa os respectivos gráficos e faça deduções.


3) Compare os gráficos: y = x2 e y k = (x +)2. Qual modificação ocorre?




Abaixo, figura dos gráficos das funções dessa 3 ª. parte da atividade:



Respostas:


a) y = x2 + 4x + 4=> y = (x + 2)2


b) y = x2 - 2x + 1=> y = (x - 1)2


c) y = x2 + 6x + 9=> y = (x + 3)2


d) y = x2 - 8x + 16=> y = (x + 4)2



Os alunos devem deduzir, por comparações, que os gráficos se deslocam horizontalmente e verificar, através das construções, que k é o parâmetro responsável pelo deslocamento.




Fontes de Referência:



  • NÉRI, Izaias C. Professor. Guia do Usuário Graphmática.
  • < http://www.graphmatica.com/> e <mandrake.mat.ufrgs.br / mat01074/20072/simone/apresent.ppt ~>. Acessados em 30 de outubro de 2009.

quinta-feira, 29 de outubro de 2009

WebQuest: "As sequências de Fibonacci". (TAAGEM)







Curso Novas Tecnologias no Ensino da Matemática


Disciplina: Tópicos em Aritmética, Álgebra e Geometria para o Ensino Médio


Tutora: Alessandra Jaccoud Pinto


Aluno: Carlos Alberto Soares Leite


Pólo: Campo Grande - Grupo 1


Tarefa: WebQuest




Título da WebQuest: "As sequências de Fibonacci".


Endereço disponível para acessar uma WebQuest: <http://www.webquestbrasil.org/criador/webquest/soporte_tabbed_w.php?id_actividad=14323&id_pagina=1>.


Disciplinas ou Áreas de Conhecimento: Matemática, Ciências e outras.


Série: Segundo Ano do Ensino Médio.


Tema: Introdução às Progressões.




  1. Introdução

Segundo Bernie Dodge, WebQuest é (...) uma atividade orientada para a pesquisa na qual algumas ou todas as informações com as quais os estudantes interagem vem de fontes da Internet...


A WebQuest pode ser usada como estratégia pedagógica sob uma metodologia de pesquisa na Internet, favorecendo a construção do conhecimento dentro de um ambiente interativo. Esta ferramenta tecnológica não exige software específico, além daqueles recursos usados normalmente na Web, constituindo-se um instrumento de fácil acesso para professores e alunos.


Neste trabalho, "As sequências de Fibonacci", a utilização da WebQuest é a forma pela qual será introduzido o assunto Progressões aos alunos da 2 ª. série do Ensino Médio.




  1. Objetivos

Esta atividade visa abordar temas ligados a Matemática relacionando-os com outras disciplinas e assuntos diversos do cotidiano. Além de estimular a pesquisa, o pensamento crítico, o trabalho em equipe e a produção de materiais pertinentes ao tema em estudo.




  1. Conclusão

O ensino, de uma forma geral, é uma tarefa árdua que os profissionais de ensino tem que enfrentar no seu dia-a-dia, todas as vezes que entram em uma sala de aula. Neste contexto, as dificuldades para ensinar e aprender Matemática são imensas.


Temas como Progressões, por exemplo, em alguns casos não possuem quaisquer significados para os estudantes, que desconhecem suas aplicabilidades e os fatos históricos envolvidos nos conteúdos.


Assim, o emprego de recursos tecnológicos nas aulas é uma das alternativas que os docentes possuem para auxiliá-los na prática. Deste modo, a WebQuest "As sequências de Fibonacci" se torna uma opção pedagógica interessante que contribui para a divulgação dos conhecimentos matemáticos de forma rápida, agradável e interativa.





REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS




  • FILHO, Benigno Barreto e SILVA, Cláudio Xavier da. Matemática aula por aula - 2 ª. Série / 1. Ed. (- São Paulo: FTD, 2003 Coleção matemática aula por aula).


Sites e Links acessados em outubro de 2009:


<http://br.geocities.com/jaymeprof/tg/Euler/prob_abelha.html>


<http://cognosco.blogs.sapo.pt/arquivo/699231.html>


<Http://www.iep.uminho.pt/aac/diversos/webquest/exemplos.htm Sites #% 20sobre% 20webquests>


<http://exame2.com.br/forum/viewtopic.php?t=1290&highlight=&sid=889cb1885270032f4967ee1deb804dc5>


<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib1.htm>


<http://webquest.sdsu.edu/about_webquests.html>


<http://www.scribd.com/doc/17119913/MATEMATICA-FIBONACCI-2>


<http://www.lmc.fc.ul.pt/ ~ albuquer / fibonacci Trabalho / abelha.htm>


<http://www.saindodamatrix.com.br/archives/2004/09/fibonacci_e_o_p.html>


<http://www.nigin.com.br/fibonacci.html>


<http://pt.wikipedia.org/wiki/N% C3% BAmero_de_Fibonacci>


<http://www.discoveryarticles.com/pt/articles/57946/1/Fibonacci-and-Golden-Ratio/Page1.html>


<http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm41/natureza.htm>


<http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm41/quemefib.htm>


<http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm41/suc-fib.htm>


<http://www.lmc.fc.ul.pt/ ~ albuquer / fibonacci Trabalho / ficha.htm>


<http://www.youtube.com/watch?v=h-vpmlz7Sac>


<http://www.youtube.com/watch?v=kdfHXEeEwGg>


<http://www.youtube.com/watch?v=T0CA60XXYp0>


quarta-feira, 28 de outubro de 2009

Exercício23_TAAGEM_CarlosLeite.doc



 

 

Curso Novas Tecnologias no Ensino da Matemática

Disciplina: Tópicos em Aritmética, Álgebra e Geometria para o Ensino Médio

Tutora: Alessandra Jaccoud Pinto

Aluno: Carlos Alberto Soares Leite

Pólo: Campo Grande – Grupo 1

Tarefa: Exercício 23 da lista 2

 

 

 

23) Relate as condições históricas que permitiram o surgimento das geometrias não euclidianas.  Enuncie o quinto postulado da Geometria Euclidiana que aparece na obra “Os Elementos" de Euclides.  Relate a importância histórica deste postulado para o surgimento das geometrias não euclidianas e destaque o papel desempenhado por Bolyai e Lobachewsky.

 

 

GEOMETRIAS: EUCLIDIANA E NÃO EUCLIDIANA

 

            Os “Elementos”, um livro de 13 volumes, onde Euclides reuniu seus conhecimentos matemáticos, fez de Alexandria, no Egito, o grande centro mundial da geometria no século III a.C..

            No livro I, encontra-se o Postulado 5 ou “Postulado das Paralelas” que tem o seguinte enunciado:Que, se uma linha reta caindo em duas linhas retas faz os ângulos interiores do mesmo lado inferiores a dois ângulos retos, as duas linhas retas, se produzidas indefinidamente, encontram naquele lado no qual estão os ângulos inferiores a dois ângulos retos, ou seja, “Se uma reta, interceptando duas outras, forma ângulos internos do mesmo lado, menores que dois retos, estas outras, prolongando-se ao infinito, encontrar-se-ão no lado onde os ângulos sejam menores do que dois retos.

            No século XIX, os “axiomas” começaram a ser questionados, entre os quais, o quinto postulado que constitui a base do sistema euclidiano.  Lobatchevsky, foi o primeiro matemático que desenvolveu novos sistemas geométricos, criou a sua própria teoria.  Por sua vez, János Bolyai foi um dos fundadores da geometria não euclidiana e provou que a circunferência de raio infinito é uma linha reta, o que negava o axioma do paralelismo de Euclides.

            Essas novas concepções ficaram conhecidas como “não euclidianas” e contribuíram para a releitura das teorias matemáticas, principalmente da axiomática euclidiana que recebeu uma variedade de interpretação.

            As geometrias não euclidianas se afirmaram quando os estudiosos matemáticos conseguiram criar modelos que mostravam que o 50. Postulado de Euclides não era uma verdade absoluta.  A partir daí, outros axiomas de Euclides foram revisados e a Geometria evoluiu proporcionando o surgimento de novas práticas matemáticas.

            As representações gráficas dos elementos da geometria euclidiana passaram a ser conceitualmente apresentadas de forma lógica e formal, valendo-se da Teoria dos Conjuntos que expressava a geometria finita sob o modelo da geometria de incidência.

            Pode-se concluir que um dos aspectos importantes sobre o estudo da geometria não euclidiana está relacionado à evolução das ciências, como a Teoria da Relatividade de Einstein, e a criação de modelos que possibilitam a visualização de outras formas de geometria como a Hiperbólica e a Elíptica, que são irregulares e devem ser vistas como alternativas da geometria euclidiana.

 

 

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

 

  • KALEFF, A.M.M.R. Tópicos em ensino de geometria: a sala de aula frente ao laboratório de ensino e à história da geometria. Rio de Janeiro: UFF/CEDERJ/UAB. 2008.

 

Sites e links acessados em 27 de outubro de 2009:

 

 

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"... Elas possuem intuição matemática!..." (TAAGEM)

Re: Fórum unidade 9- A BIBLIOTECA DE BABEL
por Carlos Alberto Soares Leite [ANcgr208] - quarta, 28 outubro 2009, 11:47

Bom dia Antônia, André e demais colegas!

Olá, Antônia, procure não ficar com dúvidas ao tentar compreender o conto de Borges, tenha em mente que o autor faz uma narrativa repleta de enigmas e, cada um pode fazer a interpretação que melhor lhe convir. Pense em uma letra de música, nem sempre a idéia do compositor é refletida à pessoa que ouve a melodia...
Quanto a frase: "Elas possuem intuição matemática!", dita pelo colega André, referindo-se as abelhas, essa colocação faz sentido. Pois, no livro "O instinto matemático", do autor Keith Devlin, ocorre a afirmação de que os animais desenvolvem "... habilidades matemáticas relacionadas a necessidade de sobrevivência, senso de direção e captura de presas...". O autor sugere que é possível aprender com cães, gatos e outros animais a "fazer matemática".
Portanto, o professor de matemática pode utilizar vários recursos literários como referências e inspirações para suas aulas.

Abraços,
Carlos Leite.

terça-feira, 27 de outubro de 2009

“... Os hexágonos são formas necessárias de espaço absoluto...” (TAAGEM)

Re: Fórum unidade 9- A BIBLIOTECA DE BABEL
por Carlos Alberto Soares Leite [ANcgr208] - terça, 27 outubro 2009, 14:19

Boa tarde, André!

Essa questão da forma hexagonal presente no texto, e levantada por você, fez lembrar os casos das abelhas que constroem seus alvéolos em formatos de hexágonos, com uma precisão matemática impressionante. E, a forma hexagonal é escolhida, justamente, por ser o prisma regular que apresenta maior volume, tornando-se um meio mais econômico para a abelha depositar o mel, evitando o desperdício de material.

Saudações,
Carlos Leite.

Fonte de consulta: <http://br.geocities.com/jaymeprof/tg/Euler/prob_abelha.html>. Acessado em 27 de outubro de 2009.

segunda-feira, 26 de outubro de 2009

"... nem só de conta vive a Matemática, (...) descrever determinadas idéias, e situações do mundo real ou imaginário, ..." (TAAGEM)

Re: Fórum unidade 9- A BIBLIOTECA DE BABEL
por Carlos Alberto Soares Leite [ANcgr208] - segunda, 26 outubro 2009, 21:32

Olá, Giovanna!


Seu pensamento sobre a "Biblioteca de Babel" é correto, aliás, digo que qualquer interpretação é válida, pois este conto pode ser percebido sob vários aspectos. Vejamos:


  • no link <http://extralibris.org/2007/05/visitada-orientada-a-biblioteca-da-babel>, que você disponibilizou, há uma comparação com a internet e a sociedade em rede e, também, afirma que o texto "... intriga e desafia arquitetos, engenheiros, astrônomos, físicos, ...";

  • o colega Renato socializou o artigo <http://ich.unito.com.br/48486>, onde o autor faz analogia com o genoma humano; e

  • nós, na condição de matemáticos, tendemos a identificar alguns elementos como: formas geométricas, linguagens e símbolos.


Portanto, o texto é livre, isto é, não existe "o certo" e nem "o errado". É uma verdadeira viagem...


Abraço,
Carlos Leite.

Conto Biblioteca de Babel - Parte 1 (TAAGEM)

Re: Fórum unidade 9- A BIBLIOTECA DE BABEL
por Carlos Alberto Soares Leite [ANcgr208] - segunda, 26 outubro 2009, 09:55

Bom dia a todos!

O conto Biblioteca de Babel, de J.L. Borges, exige uma leitura muito atenta e gera diversas interpretações, apresentando-se confuso no decorrer de sua narrativa.
Um dos paralelos que podem ser traçados em relação a Matemática, é o fato de que ambos utilizam linguagens que, na maioria das vezes, são difíceis de serem compreendidas pelas pessoas que as acessam. Por exemplo, os símbolos matemáticos representam a linguagem através da qual os estudantes vão usar para aprenderem os conteúdos da disciplina, entretanto, há casos em que os alunos não veem sentido, ou desconhecem, a aplicabilidade desses conhecimentos no seu dia-a-dia. Da mesma forma, o conto proposto é muito complexo, sendo necessário descobrir os enígmas que se encontram em suas entrelinhas para tentar entender a sua mensagem.

Saudações,
Carlos Leite.

sábado, 24 de outubro de 2009

“O que fazemos com recursos como os applets que abordam temas específicos de Matemática? Damo-los simplesmente a conhecer e a explorar..." (TAAGEM)

Re: Fórum unidade 8
por Carlos Alberto Soares Leite [ANcgr208] - sábado, 24 outubro 2009, 09:56

Bom dia a todos!

Respostas aos questionamentos sugeridos no “Encontro de Investigação em Educação Matemática” (Leiria, Portugal, 2008):
_ Os recursos tecnológicos, como os applets, devem ser explorados previamente pelos professores para que possam conhecer e avaliar a qualidade dessas ferramentas. Após verificarem a importância desses recursos, é possível apresentá-los aos alunos, adequando-os as suas necessidades.
O docente exercerá diversas funções, tais como: orientador e mediador; e deverá permitir que os estudantes atuem com liberdade para que possam desenvolver a criatividade e o convívio social, através de trabalhos em grupo (inclusive, há casos em que alunos vistos como indisciplinados mudam seus comportamentos, diante das atividades com computadores).
A Internet propicia uma grande variedade de desafios que integram recursos tecnológicos e situações do cotiano. Por exemplo, o site <http://www.atractor.pt/index.html> disponibiliza, gratuitamente, o software applet, que permiti fazer, entre outras coisas, manipulações livremente. Atividades extras podem ser propostas para que os alunos façam em casa, mesmo sem acesso à Internet, basta seguir os passos do item 2.4.2 da página 5 do link <http://www.atractor.pt/publicacoes/aveiroMat.pdf>.

Saudações,
Carlos Leite.

sexta-feira, 23 de outubro de 2009

Exercício21_TAAGEM_CarlosLeite.docx




 


 

















Curso Novas Tecnologias no Ensino da Matemática


Disciplina: Tópicos em Aritmética, Álgebra e Geometria para o Ensino Médio


Tutora: Alessandra Jaccoud Pinto.


Aluno: Carlos Alberto Soares Leite.


Pólo: Campo Grande – Grupo 1


Tarefa: Exercício nº 21 da lista 2


 


 


Matrizes e Sistema de equações lineares


 


21) Considere as matrizes


             e


 




  1. Verifique que são inversas uma da outra.

Solução:


            Por definição, uma matriz quadrada A, de ordem n, é invertida se existe a matriz B tal que AB = BA = In.


            Neste caso,


 


(Matriz identidade, ou unidade, de ordem 3)


         


 


 


 


 


A figura abaixo mostra o cálculo de AB e BA, através do software MAXIMA:



 


 


 


 



  1. Usando o resultado anterior, resolva o sistema de equações lineares


            



Resolução:


              A matriz incompleta do sistema será:



              Aplicando-se a regra de Sarrus, encontram-se os seguintes determinantes:


detB = 1/2


detBx = 7/2


detBy = -3


detBz = 9/2


                Cálculo das incógnitas x, y e z:


x = detB/x detB = (7/2)/(1/2)= 7


y = detBy/ detB = (-3) /(1/2) = -6


z = detBz/ detB = (9/2)/(1/2) = 9


              Portanto, S = {(7; -6; 9)}.


 


              Abaixo, são apresentados os cáculos executados no software MAXIMA:



 


 


 


Referências Bibliográficas:



  • SMOLE, Kátia Cristina Stocco e DINIZ, Maria Ignez de Souza VieiraMatemática – ensino médio – volume 2 – 2ª série 5. ed. – São Paulo: Saraiva, 2005.
  • <http://mais.uol.com.br/view/344377>. Acessado em 23 de outubro de 2009.

 


 



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quarta-feira, 21 de outubro de 2009

Frações com applets (TAAGEM)

Re: Fórum unidade 8
por Carlos Alberto Soares Leite [ANcgr208] - quarta, 21 outubro 2009, 11:48

Olá, pessoal!

No link <http://nonio.fc.ul.pt/recursos/matematica/com_applets/fraction1/fraccoes.htm> é possível verificar e trabalhar o tema das Frações com applets. São apresentadas orientações para alunos e professores, assim como propostas de desafios e materiais de apoio para o uso de alguns applets.

Obs.: este trabalho faz parte do site da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa (inclusive, a colega Angela referenciou um link desta Faculdade em 20/10/2009 às 09:28 h).

Abraços,
Carlos Leite.

segunda-feira, 19 de outubro de 2009

Applet (TAAGEM)

Re: Fórum unidade 8
por Carlos Alberto Soares Leite [ANcgr208] - segunda, 19 outubro 2009, 21:40

Boa noite a todos!

O Applet é um software aplicativo que também pode ser executado no programa Java, disponibilizado gratuitamente pelo site Atractor (abreviatura do nome de uma Associação cultural de direito privado, sem fins lucrativos, este projeto é aberto a toda comunidade matemática) que apresenta animações e figuras construídas em três dimensões, além de jogos interativos, teoremas e relata os aspectos históricos dos assuntos. Uma das vantagens do Applet é que se pode gravá-lo e abrí-lo posteriormente, mesmo sem acesso à Internet. A desvantagem é que necessita de mais processamento e torna-se mais lento.

Saudações,
Carlos Leite.

domingo, 18 de outubro de 2009

Exercício 19_TAAGEM_CarlosLeite.doc





 


 
















Curso Novas Tecnologias no Ensino da Matemática


Disciplina: Tópicos em Aritmética, Álgebra e Geometria para o Ensino Médio


Tutora: Alessandra Jaccoud Pinto


Aluno: Carlos Alberto Soares Leite


Pólo: Campo Grande – Grupo 1


Tarefa: Exercício nº 19 da lista 2


 


 


19) Considere a função logaritmo neperiano log : (0, ∞) → R que é uma função real bijetora definida no intervalo aberto (0, ∞).  Conforme estudamos, para todo número real a ≥ 1 o valor de log (a) coincide com a medida da área da região plana situada sob o gráfico da função f (x) = 1/x, acima do eixo x e limitada pelas retas verticais x = 1 e x = a.


            a) Prove que 37/60 < log 2 < 47/60.


Resolução:


            Por sugestão, considerar a figura abaixo, onde o intervalo [1, 2] está dividido em três partes iguais e calcular a área por falta e por excesso.



 


 


 


 


 



  • Cálculo da área por falta (Af):

Af1 (área por falta do 10. retângulo) = (4/3 – 1) (3/4) = 1/4


Af2 (área por falta do 20. retângulo) = (5/3 – 4/3) (3/5) = 1/5


Af3 (área por falta do 30. retângulo) = (2 – 5/3) (1/2) = 1/6


Af = Af1 + Af2 + Af3 = 1/4 + 1/5 + 1/6


Af = 37/60 (≈ 0,61667)


 



  • Cálculo da área por excesso (Ae):

Ae1 (área por excesso do 10. retângulo) = Af1 + (4/3 – 1) (1 - 3/4) = 1/3


Ae2 (área por excesso do 20. retângulo) = Af2 + (5/3 – 4/3) (3/4 - 3/5) = 1/4


Ae3 (área por excesso do 30. retângulo) = Af3 + (2 – 5/3) (3/5 - 1/2) = 1/5


Ae = Ae1 + Ae2 + Ae3 = 1/3 + 1/4 + 1/5


Ae = 47/60 (≈ 0,78333)


 


            Como a área abaixo da hipérbole no intervalo [1, 2] coincide com o valor de log 2, pode-se deduzir que a área da hipérbole está entre a área por falta e a área por excesso. Logo, 37/60 < log 2 < 47/60.


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


            b) Conclua que log 1 = 0 e que para dois números 1 ≤ a < b vale a < log b.


Resposta:


            Por definição, para todo número real a ≥ 1 a área da função logaritmo neperiano log : (0, ∞) → R é representada por log (a) e está limitada, no eixo x, pelas seguintes condições: à esquerda por 1; acima pela função hiperbólica 1/x; à direita por a; e abaixo pelo intervalo [1, a].


            Então, se a = 1, a região plana localizada sob o gráfico da curva f(x) = 1/x se reduzirá a uma linha vertical (que não possui área, ou seja, a área é nula).


            Portanto, log 1 = área (1, 1).  Assim: log 1 = 0.


            Quando o valor de a aumenta, para b > a, a função e a área também aumentam os seus valores, em consequencia, o log b é maior.


            Pode-se concluir que 1 ≤ a < b vale a < log b.


            A figura abaixo mostra exemplos de construções, através do software GeoGebra, dos log 1 = 0 (área nula) e log 1,5 = área 0,40547 (b = 1,5 => a < log b).



 


 


 


 


 


            c) O número e, denominado número de Neper, é tal que log e = 1.  Com os resultados do item anterior, conclua que e > 2.


Resposta:


            A integral [f,1,e] gera o valor c =1 que é a área da região plana sob o gráfico da função f(x) = 1/x.


            Como o log 2 apresenta o valor a = 0,69315 para aquela área e log e = 1, é possível concluir que e > 2.


            A figura abaixo mostra as construções gráficas das áreas da região plana situada sob o gráfico da função f (x) = 1/x e a função logaritmo natural (y = ex).  Considerando o número de Neper e = 2,71828.



 


 


Referência Bibliográfica


Sites acessados em 18 de outubro de 2009:



 



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