Curso Novas Tecnologias no Ensino da Matemática |
Disciplina: Tópicos em Aritmética, Álgebra e Geometria para o Ensino Médio |
Tutora: Alessandra Jaccoud Pinto |
Aluno: Carlos Alberto Soares Leite |
Pólo: Campo Grande – Grupo 1 |
Tarefa: Exercício nº 19 da lista 2 |
19) Considere a função logaritmo neperiano log : (0, ∞) → R que é uma função real bijetora definida no intervalo aberto (0, ∞). Conforme estudamos, para todo número real a ≥ 1 o valor de log (a) coincide com a medida da área da região plana situada sob o gráfico da função f (x) = 1/x, acima do eixo x e limitada pelas retas verticais x = 1 e x = a.
a) Prove que 37/60 < log 2 < 47/60.
Resolução:
Por sugestão, considerar a figura abaixo, onde o intervalo [1, 2] está dividido em três partes iguais e calcular a área por falta e por excesso.
- Cálculo da área por falta (Af):
Af1 (área por falta do 10. retângulo) = (4/3 – 1) (3/4) = 1/4
Af2 (área por falta do 20. retângulo) = (5/3 – 4/3) (3/5) = 1/5
Af3 (área por falta do 30. retângulo) = (2 – 5/3) (1/2) = 1/6
Af = Af1 + Af2 + Af3 = 1/4 + 1/5 + 1/6
Af = 37/60 (≈ 0,61667)
- Cálculo da área por excesso (Ae):
Ae1 (área por excesso do 10. retângulo) = Af1 + (4/3 – 1) (1 - 3/4) = 1/3
Ae2 (área por excesso do 20. retângulo) = Af2 + (5/3 – 4/3) (3/4 - 3/5) = 1/4
Ae3 (área por excesso do 30. retângulo) = Af3 + (2 – 5/3) (3/5 - 1/2) = 1/5
Ae = Ae1 + Ae2 + Ae3 = 1/3 + 1/4 + 1/5
Ae = 47/60 (≈ 0,78333)
Como a área abaixo da hipérbole no intervalo [1, 2] coincide com o valor de log 2, pode-se deduzir que a área da hipérbole está entre a área por falta e a área por excesso. Logo, 37/60 < log 2 < 47/60.
b) Conclua que log 1 = 0 e que para dois números 1 ≤ a < b vale a < log b.
Resposta:
Por definição, para todo número real a ≥ 1 a área da função logaritmo neperiano log : (0, ∞) → R é representada por log (a) e está limitada, no eixo x, pelas seguintes condições: à esquerda por 1; acima pela função hiperbólica 1/x; à direita por a; e abaixo pelo intervalo [1, a].
Então, se a = 1, a região plana localizada sob o gráfico da curva f(x) = 1/x se reduzirá a uma linha vertical (que não possui área, ou seja, a área é nula).
Portanto, log 1 = área (1, 1). Assim: log 1 = 0.
Quando o valor de a aumenta, para b > a, a função e a área também aumentam os seus valores, em consequencia, o log b é maior.
Pode-se concluir que 1 ≤ a < b vale a < log b.
A figura abaixo mostra exemplos de construções, através do software GeoGebra, dos log 1 = 0 (área nula) e log 1,5 = área 0,40547 (b = 1,5 => a < log b).
c) O número e, denominado número de Neper, é tal que log e = 1. Com os resultados do item anterior, conclua que e > 2.
Resposta:
A integral [f,1,e] gera o valor c =1 que é a área da região plana sob o gráfico da função f(x) = 1/x.
Como o log 2 apresenta o valor a = 0,69315 para aquela área e log e = 1, é possível concluir que e > 2.
A figura abaixo mostra as construções gráficas das áreas da região plana situada sob o gráfico da função f (x) = 1/x e a função logaritmo natural (y = ex). Considerando o número de Neper e = 2,71828.
Referência Bibliográfica
Sites acessados em 18 de outubro de 2009:
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